MATEMATIKA KOMPUTASI - MAPLE

MATEMATIKA KOMPUTASI

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah “ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”.  Kalimat ini bukan rumusan yang tepat, sekalipun dapat dikatakan memadai untuk dicantumkan dalam kamus. Ada cabang matematika yang tidak langsung berurusan dengan bilangan, misalnya geometri, topologi, teori graf serta logika.

Dalam naskah ini matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang pernyataan-pernyataan, serta syarat-syarat yang diperlukan agar sebuah pernyataan adalah benar.  Dalam matematika diuji kebenaran sebuah pernyataan, diteliti makna atau implikasi dari setiap kata yang terdapat didalamnya, serta dicoba dikembangkan pernyataan-pernyataan lain yang berkaitan. Pernyataan itu dapat mengenai apa saja, yang oleh para matematikawan dipilih sebagai obyek-obyek yang pantas diteliti dan dicermati. Salah satu obyek yang menarik adalah, tentu saja, bilangan.  Ternyata ada aneka ragam bilangan, baik yang asli, maupun yang tidak asli. Ternyata ada bilangan yang memiliki ciri istimewa, yang lalu disebut bilangan prima. Studi mengenai hal ini sangat penting tidak hanya dalam matematika, namun juga dalam teknik komputer. 

Komputasi adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis. Secara matematis pada umumnya model mengambil bentuk

f(x) = y,

dengan x = himpunan informasi yang tersembunyi dalam model, berupa besaran-besaran yang nilainya harus ditetapkan agar persoalan nyata dapat dipecahkan, y = himpunan data yang tersedia, berupa besaran-besaran yang nilainya telah diketahui, dan f(.) = operator matematis model tersebut.  Secara singkat dalam komputasi diberikan f(.) serta nilai numeris y, lakukanlah aktivitas untuk memperoleh nilai numeris x, agar f(x) = y dipenuhi.

Secara matematis, x diperoleh melalui operasi invers atas y.  Konkritnya,

x = f^-1(y),

dengan f^-1 operator matematis untuk melaksanakan operasi invers yang dimaksudkan. Masalah utama: dalam praktek tidak banyak operator f dengan f^-1 diketahui atau langsung dapat ditetapkan dengan mudah.  Oleh karena itu proses komputasi sering harus melalui jalan yang tak langsung.

Teknik komputasi adalah perangkat ilmu tentang alat (biasanya sebuah komputer), metode (yang disebut algoritma) dan teori (bukti matematis bahwa komputasi memberi hasil yang benar) yang diperlukan untuk melaksanakan komputasi tersebut.  Sementara itu dalam melakukan kegiatan komputasi untuk menyelesaikan suatu persoalan, seorang teknisi harus memperhatikan interaksi dari alat (komputer yang digunakan), metode (yaitu program yang dimiliki), dan sifat unik dari soal yang dihadapi, sebab dalam praktek soal-soal memiliki tingkat kesulitan yang berbeda-beda:  ada soal yang relatif sangat gampang, ada yang sulit, tetapi juga ada soal yang sangat sulit.

alat. Alat komputasi paling kuno adalah kertas, potlot dan karet penghapus. Alat komputasi yang lebih maju adalah kertas, potlot, karet penghapus dan mistar hitung,  Selanjutnya mistar hitung diganti dengan kalkulator (elektronis), yang dapat dibawa di dalam saku.  Alat komputasi yang modern adalah komputer, yang biasanya merupakan peralatan elektronis dengan berbagai kemampuan tertentu: (1) dapat melakukan operasi penyimpanan, karena dalam komputer ada memori; (2) dapat melakukan operasi-operasi tertentu atas yang disimpan dalam memori; (3) dapat menyajikan kembali isi memori itu dalam media penampil menurut format yang dikehendaki oleh pemakai. 

Itu adalah rumusan singkat tentang apa yang disebut komputer.  Beberapa hal masih harus ditambahkan agar sebuah gambaran yang utuh diperoleh. Dalam bidang komputer dikenal tiga serangkai data - program - informasi. Dalam bahasa sehari-hari data adalah fakta tersurat (dalam bentuk catatan atau tulisan) tentang suatu obyek. Dalam dunia komputer data adalah segala sesuatu yang dapat disimpan dalam memori menurut format tertentu, dan informasi adalah segala sesuatu yang ditampilkan oleh komputer dalam sebuah media penampil tersebut diatas, biasanya sebagai hasil dari sebuah proses komputasi.  Bagi teknisi yang berhadapan langsung dengan persoalan yang nyata, data menghadirkan fakta tersurat yang secara spesifik ada pada persoalan itu, dan yang secara khas terpancar sebagai isyarat sebagaimana diterima (ditangkap) oleh teknisi yang sedang menangani persoalan tersebut.  Dalam konteks itu informasi adalah fakta tersirat yang muncul dalam benak teknisi itu sesudah mencermati dan mengolahnya dengan tertib, berdasarkan model  yang diyakini sebagai hal yang benar ada dalam keseluruhan persoalan tersebut.

Program adalah deretan operasi yang sengaja ditulis untuk sebuah proses komputasi.  Program adalah resep tentang bagaimana komputasi itu harus dilaksanakan. Sebagai sebuah fakta tentang obyek komputasi, program disimpan dalam memori komputer untuk dijalankan.  -- Menjalankan komputer adalah membuat komputer melaksanakan tiap operasi yang terdapat dalam program, satu demi satu, dari operasi pertama, kedua, ..., dan seterusnya sampai dengan operasi yang terakhir. Maka operasi sama dengan instruksi  dan himpunan instruksi yang dimiliki atau dikenal oleh komputer merupakan bahasa komputer , karena dengan bahasa itu manusia dapat berkomunikasi dan menyampaikan kehendaknya kepada komputer.

Informasi  adalah fakta tersirat (dalam bentuk catatan atau tulisan) tentang obyek yang dibicarakan. Disini (sekali lagi) sengaja digunakan istilah "tersirat" (dan dipertentangkan dengan kata "tersurat") untuk menegaskan bahwa informasi adalah fakta tersembunyi dibalik himpunan fakta yang sudah dicatat, dan baru diketemukan sesudah diolah atau dicerna. Maka informasi identik dengan data.  Perbedaan pokok adalah dalam hubungannya dengan pemakai data/informasi tersebut. Data adalah mentah, karena hasih harus dicerna lagi, informasi bersifat matang karena langsung dapat digunakan (misalnya untuk pengambilan keputusan).

Dikaitkan dengan usaha untuk menyelesaikan persoalan dalam y = f(x) tersebut diatas, dapat dikatakan bahwa y adalah data, x adalah informasi yang diinginkan dan f^-1(.) adalah program yang mengimplementasikan operasi invers atas fungsi f(.).

MAPLE

Maple merupakan software dikembangkan oleh Waterloo Maple Inc untuk  menyelesaikan masalah matematika. Maple berjalan pada sistem operasi keluarga Windows dan cukup mudah untuk digunakan. Perintah-perintah seperti cut, copy, dan paste bisa menggunakan hotkey seperti di Windows. Sebelum masuk ke perintah- perintah yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah, khususnya untuk Kalkulus I, terlebih dahulu kita harus memahami lingkungan Maple. Saat pertama kali menjalankan, Maple akan langsung membuka jendela perintah (command window) dan di sebelah kiri ada tanda [>, pertanda Maple siap menerima perintah.

Aturan Dasar

       Setiap akhir baris perintah harus diakhiri dengan tanda titik koma (;) dan untuk eksekusi perintah digunakan tombol Enter.

Maple bersifat sensitif

       Arti dari sensitif adalah Maple membedakan perintah yang ditulis dengan huruf besar dan perintah yang ditulis dengan huruf kecil, secara khusus perbedaan ini hanya ada di huruf pertama perintah. Secara umum, perintah yang diawali dengan huruf besar  digunakan untuk mendefinisikan atau membentuk permasalahan matematika sedangkan perintah yang diawali dengan huruf kecil digunakan untuk mencari atau menghitung nilai operasi yang kita inginkan.

Contoh:

perintah Diff( ) digunakan untuk membentuk turunan suatu fungsi. perintah diff( ) digunakan untuk mencari turunan suatu fungsi. Penerapan di Maple untuk , akan dicari turunan dari

[>Diff(x^2,x); diawali huruf besar, membentuk turunan dari , output Maple sbb:

[>diff(x^2,x); diawali huruf kecil, mencari turunan dari , output Maple sbb:

Beberapa pokok bahasan yang dapat dikerjakan oleh Maple adalah sebagai berikut :

a. Kalkulasi/ perhitungan numeric

b. Komputasi aljabar

c. Grafik

d. Kalkulus

e. Persamaan Differensial

f. Aljabar Linear

g. Statistik dan Ekonomi

Mencari Hasil Bagi Polinomial dan Sisanya dengan Maple

Untuk mencari hasil bagi dua buah polinomial, misalkan P(x) dan Q(x) dengan menggunakan Maple, gunakan perintah

     quo(P(x), Q(x), x);

Sebagai contoh, misalkan diberikan polinomial P(x) = 3x^3 – 2x^2 + x – 4 dan Q(x) = x^2 + 1. Akan dicari hasil bagi P(x) terhadap Q(x). Perintahnya:

    quo(3*x^3 - 2*x^2 + x - 4, x^2 + 1, x);

dari perintah di atas akan dihasilkan 3x – 2.rem merupakan singkatan dari ‘remainder’ atau sisa. Untuk kasus di atas, maka perintah untuk mencari sisa hasil bagi P(x) terhadap Q(x) adalah :

    rem(3*x^3 - 2*x^2 + x - 4, x^2 + 1, x);

dan hasilnya adalah -2 – 2x. Secara umum, hubungan hasil bagi dengan sisa hasil bagi dua buah polinomial P(x) dan Q(x) adalah P(x) = Q(x) (hasil bagi) + sisa.  Sehingga dalam kasus ini, 3x^3 – 2x^2 + x – 4 = (x^2 + 1) (3x – 2) + (-2 – 2x)

Komposisi Fungsi dengan Maple

Secara teori, komposisi dari dua buah fungsi f(x) dan g(x) atau (f o g)(x) didefinisikan dengan (f o g)(x) = f(g(x)). Untuk mencari komposisi fungsi dapat juga menggunakan Maple. Apabila menggunakan Maple, perintah untuk mencari (f o g)(x) adalah

        > (f @ g)(x);

dengan f dan g sudah didefinisikan terlebih dahulu. Sebagai contoh, misalkan akan dicari komposisi fungsi dari f(x) = x^2 dan g(x) = x + 1. Perintah Maplenya

       > f := x -> x^2;

       > g := x -> x + 1;

       > (f @ g)(x);

Hasil komposisi fungsi di atas adalah (x + 1)^2. Anda dapat pula mengevaluasi hasil komposisi fungsi dengan Maple. Contohnya adalah seperti perintah berikut ini.

       > (f @ g)(2.5);

plot nya saja seperti contoh berikut ini

       > plot((f @ g)(x), x=0..3);

Selanjutnya bagaimana dengan komposisi yang melibatkan 3 fungsi atau lebih, misalkan (f o g o h)(x)? Dengan Maple, hal ini menjadi cukup mudah.

      > (f @ g @ h)(x);

Sebagai latihan, coba definisikan fungsi f(x) = 2x, g(x) = 3x + 1, h(x) = x^2. Lalu selidikilah apakah (f o g)(x) = (g o f)(x) ? serta apakah (f o g o h)(x) = (h o g o f)(x)?

Mencari Fungsi Invers dengan Maple

Secara teori dikatakan bahwa misalkan f(x) adalah fungsi satu-satu dan g(x) adalah fungsi invers dari f(x), maka akan berlaku (f o g)(x) = x.

Dalam Maple tidak ada perintah khusus untuk mencari invers fungsi. Oleh karena itu untuk mencari fungsi invers digunakan konsep teori tersebut yaitu dengan mencari g(x) sebagai penyelesaian dari persamaan (f o g)(x) = x.

bagaimana cara mencari fungsi invers dengan Maple? Simak artikel ini selanjutnya.

Diberikan sebuah fungsi f(x) = (3x + 2)/(2x – 1). Tentukan fungsi invers f(x) dengan menggunakan Maple.Berpegang pada teori, maka untuk mencari fungsi invers f(x), kita harus menyelesaikan persamaan (f o g)(x) = x, dengan g(x) adalah fungsi invers yang akan kita cari.Untuk menyelesaiakan persamaan dengan Maple, kita gunakan perintah solve().

       > f := x - > (3*x + 2)/(2*x - 1);

       > finv := x -> solve((f @ g)(x) = x, g(x));

       > finv(x);

Perintah solve((f @ g)(x) = x, g(x)) digunakan untuk mencari g(x) sedemikian hingga memenuhi persamaan (f o g)(x) = x. Penyelesaian dari persamaan ini didefinisikan sebagai fungsi finv(x) atau fungsi invers f(x). Anda tidak harus menggunakan nama fungsi finv() tapi boleh nama yang lain sesuka Anda. Sedangkan perintah ke tiga untuk menampilkan fungsi inversnya.

Hasil fungsi inversnya akan diperoleh finv(x) = (2 + x)/(-3 + x).

Sebagai latihan, coba Anda cari fungsi invers dari f(x) = 3x + 4 dan f(x) = 5 – 4x^3.

Jangan lupa, jawab pula pertanyaan berikut ini (dengan Maple)

“Jika suatu populasi bakteri pada awalnya 100 buah dan menjadi berlipat ganda setiap 3 jam, maka banyaknya bakteri setelah t jam dirumuskan dengan S(t) = 100 x 2^(t/3). Tentukan invers fungsi S(t) dan jelaskan artinya! Kapan populasi bakteri akan mencapai 50.000 buah?”

Menggambar Grafik Invers Fungsi dengan Maple

Dalam Maple telah tersedia perintah khusus untuk menggambar grafik invers dari suatu fungsi. Perintah ini terdapat dalam Calculus1 Student Package. Berikut ini adalah sintaks perintahnya.

      > with(Student[Calculus1]):

      > InversePlot(f(x),x=a..b, option);

Perintah with(Student[Calculus1]) digunakan untuk mengaktifkan paket Calculus1 Student Package. Tanpa pengaktifan paket ini, perintah untuk membuat grafik invers fungsi tidak bisa dijalankan.

Perintah yang telah dituliskan di atas akan menampilkan grafik fungsi f(x) pada selang [a, b] dan juga inversnya. Berikut ini beberapa option yang dapat diberikan pada perintah InversePlot:

      showfunction = true|false

Option ini digunakan untuk menentukan tampil atau tidaknya grafik f(x). Default dari option ini adalah bernilai true (grafik f(x) ditampilkan)

      showinverse = true|false

Option ini digunakan untuk menentukan tampil atau tidaknya grafik invers f(x). Default dari option ini adalah bernilai true (grafik invers f(x) ditampilkan)

      showline = true|false

Apabila showline=true, maka akan tampil garis y=x berupa titik-titik pada grafik output yang merupakan pemisah antara grafik f(x) dengan inversnya. Secara default, option ini adalah true.

Membuat Grafik Fungsi 2 Dimensi dengan Maple

Dengan menggunakan Maple, Anda dapat membuat grafik fungsi atau plot dengan cepat dan mudah. Dalam tutorial ini akan dijelaskan bagaimana membuat grafik fungsi 2 dimensi.

Misalkan diberikan suatu fungsi f(x). Apabila fungsi tersebut akan dibuat grafik fungsinya pada domain [a, b] dengan Maple, maka sintaks perintahnya adalah

      > plot(f(x), x=a..b);

Sebagai contoh misalkan akan dibuat grafik fungsi f(x) = sin(x) + cos(x) pada domain [0, 2Pi], perintahnya:

      > plot(sin(x) + cos(x), x=0..2*Pi);

atau dapat pula didefinisikan fungsinya terlebih dahulu

      > f := x -> sin(x) + cos(x);

      > plot(f(x), x=0..2*Pi);

Mungkin Anda bertanya, bagaimana dengan cara menggambar dua grafik fungsi atau lebih dalam satu bidang gambar yang sama? Ini dia sintaksnya”

> plot([f1(x), f2(x), ...], x=a..b);

Sebagai contoh, misalkan akan dibuat grafik fungsi f(x) = cos(x) dan g(x) = cos(x + 1) pada domain [0, 2Pi].

     > plot([cos(x), cos(x + 1)], x=0..2*Pi);

     > f := x -> cos(x);

     > g := x -> cos(x + 1);

     > plot([f(x), g(x)], x=0..2*Pi);

Anda dapat pula memberi warna pada grafik. Untuk memberi warna grafik, tambahkan option color = warna pada plot(). Berikut ini perintah untuk memberi warna biru pada sebuah grafik

      > plot(sin(x) + cos(x), x=0..2*Pi, color=blue);

Sedangkan perintah berikut ini akan memberi warna biru pada f(x) = cos(x) dan merah pada g(x) = cos(x + 1).

      > plot([cos(x), cos(x + 1)], x=0..2*Pi, color=[blue, red]);

Warna-warna apa saja yang dapat dipilih untuk pewarnaan grafik? aquamarine,  black, blue, navy, coral, cyan, brown,gold, green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, orange,pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, violet, wheat,white, yellow.

Menggambar dua grafik fungsi atau lebih dalam satu bidang gambar biasanya digunakan untuk melihat perbandingan sifat fungsi-fungsi tersebut.

Sebagai latihan coba Anda kerjakan soal berikut ini

Gambarkan grafik fungsi f(x) = x^4 + c x^2 + x untuk beberapa nilai c dalam domain yang sama. Amatilah bagaimana grafik berubah pada waktu c berubah.

Grafik dengan persamaan y = abs(x)/sqrt(c – x^2) disebut dengan kurva hidung peluru. Gambarkan grafik tersebut untuk beberapa nilai c. Amatilah yang terjadi, dan jelaskan mengapa kurva yang dihasilkan disebut hidung peluru! Apa yang terjadi apabila nilai c semakin bertambah besar?

Gambarkan grafik dari y = 1/x dan y = 1/x^3 pada domain yang sama. Coba bandingkan kedua grafik dan simpulkan. Lakukan hal yang sama untuk y = 1/x^2 dan 1/x^4.

Contoh penggunaan: Akan digambar grafik fungsi f(x) = sin(x) pada interval [0,2Pi] beserta inversnya. Perintah Maplenya adalah

     > with(Student[Calculus1]):

     > f := x -> sin(x);

     > InversePlot(f(x), x=0..2*Pi);

     > InversePlot(f(x), x=0..2*Pi, showline=false);

Perintah di atas akan menghilangkan garis y=x.

Penggunaan Metode Newton untuk Pencarian Akar di Maple

Metode Newton atau yang biasa dikenal dengan metode Newton Raphson dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi. Keunggulan metode ini adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensi linear.

Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x.

Dengan menggunakan Maple, Anda dapat menghitung akar pendekatan dari fungsi menggunakan metode Newton ini dengan mudah. Perintah yang digunakan untuk melakukan hal ini adalah

     NewtonsMethod(f(x), x = a);

dengan f(x) adalah fungsi yang akan dicari akar pendekatannya, dan a adalah nilai awal iterasinya.

Perintah NewtonsMethod() berada dalam Calculus1 Student Package, sehingga perintah ini hanya bisa berjalan apabila sebelumnya paket tersebut dipanggil dengan perintah

     with(Student[Calculus1]):

Perintah NewtonsMethod() ini akan dihasilkan akar pendekatan sebagai hasil dari 5 iterasi metode Newton. Adapun ouputnya, bisa berupa nilai tunggal akar pendekatan (hasil dari iterasi ke-5 saja), nilai setiap iterasinya, atau bahkan visualisasi grafik setiap iterasinya. Apabila Anda menginginkan outputnya dalam bentuk nilai tunggal akar pendekatan, maka gunakan perintah

     NewtonsMethod(f(x), x = a);

Sedangkan apabila Anda ingin menampilkan hasil akar pendekatan setiap iterasinya, maka gunakan

     NewtonsMethod(f(x), x = a, output = sequence);

dan bila menginginkan output dalam bentuk visualisasi grafik, gunakan

     NewtonsMethod(f(x), x = a, output = plot);

Berikut ini beberapa contoh output yang dihasilkan dari perintah yang berbeda

     NewtonsMethod(sin(x) + 1, x = 1);

menghasilkan -1.619017361

     NewtonsMethod(sin(x) + 1, x = 2, output = sequence);

menghasilkan 2, 6.588037826, 5.225039135, 4.962948756, 4.837009302, 4.774618375

     NewtonsMethod(x^2 + x + 1, x = 2, output = plot);

Penggunaan Maple untuk Pendekatan Fungsi dengan Polinomial (Deret) Taylor

Software Maple saat ini telah dilengkapi dengan fitur untuk mencari deret Taylor guna pendekatan suatu fungsi. Perintah yang digunakan untuk melakukan hal ini adalah TaylorApproximation(). Perintah ini terdapat dalam Calculus1 Student Package, oleh karena itu sebelum menggunakan TaylorApproximation(), kita terlebih dahulu harus telah menuliskan perintah

     with(Student[Calculus1]):

untuk membuka packagenya.dengan menggunakan TaylorApproximation(), kita dapat mengetahui bentuk polinomial deret Taylor yang dihasilkan pada order-n tertentu, bahkan tidak hanya itu kita juga bisa mengetahui visualisasi grafik yang membandingkan antara hasil pendekatan dengan polinomial (deret) Taylor terhadap fungsi eksaknya.

Sintaks umum perintah dari TaylorApproximation() ini adalah

      TaylorApproximation(f(x), x = a, option);

Perintah di atas akan menghasilkan polinomial deret Taylor sebagai pendekatan dari fungsi f(x) di sekitar x = a. Dalam hal ini paramater option bersifat optional. Apabila option ini tidak diberikan, maka defaultnya akan dihasilkan output berupa bentuk polinomialnya (berorder 1 atau polinomial pangkat 1). Misalnya:

     TaylorApproximation(exp(x), x = 0);

akan dihasilkan output 1 + x. Kita dapat menambah order polinomial Taylornya menjadi n, dengan menambahkan option order = n.

     TaylorApproximation(exp(x), x = 0, order = 5);

Hasil dari perintah di atas adalah 1 + x + 1/2 x^2 + 1/6 x^3 + 1/24 x^4 + 1/120 x^5. Bila kita menginginkan output dalam bentuk visualisasi, tambahkan option output = plot.

     TaylorApproximation(exp(x), x = 0, order = 5, output = plot);

Range x yang dihasilkan dalam plot dapat kita atur sesuai keinginan. Misalkan visualisasi yang dihasilkan hanya untuk x yang berada dalam interval [-5, 6], maka perintah Maple nya

     TaylorApproximation(exp(x), x = 0, -5..6, order = 5, output = plot);

cek dengan visualisasi grafik, apa akibatnya apabila order n polinomial Taylornya semakin bertambha ataukan berkurang. Silakan bandingkan grafiknya bila digunakan order = 1, 2, …, 4.